几道抛硬币问题

几道抛硬币问题

只是记录一下遇到的几道抛硬币的概率问题。

 

1、平均需要抛掷多少次硬币,才会首次出现连续的两个正面?

假设连续两个正面的期望是E,那么,先看第一次抛硬币:

  1. 如果抛到反面,那么还期望抛E次,因为抛到反面完全没用,总数就期望抛E+1
  2. 如果抛到正面,那么要看下一次,如果下一次也是正面,那抛硬币就结束了,总数是2;如果下一次是反面,那么相当于重头来过,总数就期望抛E+2

于是可以得到如下关系式:

E = 0.5(E+1) + 0.25*2 + 0.25(E+2)

得到所求期望E=6

现在把题目拓展,不是说“连续两个正面”,而是“连续n个正面”呢?

这个问题Matrix67有非常有趣的解答《用数学解赌博问题不稀奇,用赌博解数学问题才牛B》,下面我简述一下:

假设有一个赌场,赌博的方式就是猜正反,每来一个玩家来的时候都只带了1元,每次都会全部下注,然后赌正面,庄家抛硬币,如果猜错就是全部输掉,如果赢了就得到下注的两倍,玩家会一直玩一直玩直到钱输光;而赌场老板会看,如果有人赢到2^n元,就下令关闭赌场。

于是直到n次正面朝上的情况发生,赌场关闭,只有最后那n个人才赚到了钱,最后一人得到了2元(没算成本价1元),倒数第二人是4元……倒数第n人是2^n元,所以,一共得到(等比数列求和):

2+4+8+…+2^n = 2*(1-2^n)/(1-2) = 2^(n+1) – 2

赌场有多少钱流入,自然就有多少钱流出,所以到赌场倒闭,玩家赢得的钱的总数,就应该等于赌场期望的收入。而因为每个人来的时候都只带了1元,因此这个数正好等于期望的人数。于是这就是最终答案。

 

2、一堆硬币,每天都随便捡一枚抛,如果抛到正面,就把它翻过来;如果抛到反面,就再抛一下,问很长很长时间以后,硬币正面和反面的比例会趋近于多少?

假设正面的比例是x,那么反面就是1-x,对于任意一次操作:

  • 如果抛到正面,那么得到的就一定是反面了;
  • 如果抛到反面,那么得到正面的可能性为0.5,反面的也为0.5。

所以得到正面的综合起来的概率为:

x*0 + (1-x)*0.5 = x

所以x = 1/3,因此硬币正面和反面的比例会趋近于x/(1-x) = 1/2

 

3、连续抛硬币,直到第一次出现连续两次正面为止,恰好抛了N次的概率是多少?

考虑“恰好”抛N次硬币,到底有多少种情况可以得出最后两次是连续出现了正面,而之前没有出现过连续正面。

  • 假设f(x)表示第一次出现连续正面的时候,已经抛了x次,并且整个过程的第一次抛出的结果是反面;
  • 假设g(x)表示第一次出现连续正面的时候,已经抛了x次,并且整个过程的第一次抛出的结果是正面。

所以f(1)=f(2)=0,g(1)=0,g(2)=1,而当x>2,

  • 求f(x+1),因为第一次是反面,所以这新添加的第一次不影响结果,因此f(x+1)=f(x)+g(x)
  • 求g(x+1),因为第一次是正面,必须要保证第二次不能为正,所以g(x+1)=f(x)

于是得到:

f(x+2)=f(x+1)+g(x+1)=f(x+1)+f(x)

g(x+1)=f(x)

其中,求f(x)的递推式可以看出f(x)是斐波那契数列,根据它的通项公式:

几道抛硬币问题

得到f(N),也就得到了g(N),而总抛的可能性共有2^N次方,因此,概率为:

(f(N)+g(N))/2^N

 

 

4、抛硬币N次,出现连续M次正面的概率是多少?

这个问题也很常见,但是做起来没那么容易,这里有一个非常详细的讨论过程(链接),我就不搬过来了。

 

5、抛N次硬币,正反两面出现次数相同的概率是多少?

其实就是从N个硬币的空位中,选出N/2个作为正面,余下N/2个作为反面,应用组合公式可得到:

C(N,N/2)/2^N=N!/((N-N/2)!(N/2)!)/2^N

继续,

正面出现次数超过反面的概率?

因为正反情况相同,因此正面次数超过反面的概率应当等于反面次数超过正面的概率,因此结果为1减去上面那一问的结果之后除以2:

(1-C(N,N/2)/2^N)/2

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