这道题是说,100 层楼,两个一模一样的鸡蛋,某层之上扔鸡蛋就会碎。问要测试多少次才能找出这层楼来。我曾经在去年初的这篇文章里面讨论过这个问题的解法,因为只想记录一下思路和讨论过程,写得很简略。现在,我想重新整理一下这个问题,再稍稍扩展和挖掘一下。希望可以用尽可能清晰易懂的描述,把这个问题的前后说清楚。
现在只有两个鸡蛋,而算法必须在各种合法输入下都是可行的,就是说要能找出这一层来,你得假设你的运气最差,这就意味着,我求解的是在每种扔鸡蛋的策略下都有一个需要扔的次数的最大值,而现在需要求解的是这些最大值中的最小值的问题。如果我只有一枚鸡蛋,这就意味着,我只能从第一层开始老老实实地一层一层往上试,不能越层;而我的运气非常非常差,于是我这样试验的结果就是一直试验到最高一层鸡蛋依然没破,试验的次数就等于楼层数 N。
动态规划法求解
现在,我有两枚鸡蛋,第一枚鸡蛋从哪一层楼开始扔就显得至关重要了。如果第一枚鸡蛋碎了,那就回到刚说的只有一枚鸡蛋的问题了。我相信很多人立即映射到脑子里的词是 “二分法”,也就是说,第一枚鸡蛋从 N/2 开始扔,如果碎了,扔的楼层数就是 N/2(注意取整);如果没碎,剩下 N/2 楼层里继续用二分法。可以预计,如果没碎的情况,扔鸡蛋的总次数要小于 N/2。也就意味着,还有潜力可挖,如果不用二分法,让扔第一枚鸡蛋的楼层数为 x,它小于 N/2;同时如果第一枚鸡蛋没碎,接下去的策略,在运气最差的情况下仍然让扔的次数等于 x,就最经济了。
最常规的解法是动态规划。可以用动态规划法求解的问题必须满足这样的条件,分割成的子问题是最优解的时候,原问题也是最优解。显然这个问题满足这一点:假设扔的总次数为 f(x),在第一次扔碎了的情况下,接下去只能一层一层试验,最多从第 1 层到第 x-1 层需要试验 x-1 次,加上扔第一个鸡蛋那一次,总的次数就是 (x-1)+1=x;在第一次没碎的情况下,就相当于一个新的相似子问题:在 N-x 层中寻找新的扔鸡蛋次数 f(N-x),因此总次数就是 f(N-x)+1。那么:
f(x)=max(x, f(N-x)+1)
同时,递归求解的出口是:当 x=1,f(x)=1。所以,算法大致如下:
// times[i] 表示 N 取值为 i 的时候,需要扔多少次 private static int[] times; public static int dropEgg(int N) { // 初始化数组 times = new int[N + 1]; return dp(N); } private static int dp(int N) { // 两层楼或一层楼就没有计算的必要了 if (1 == N) return 1; else if (2 == N) return 2; for (int x = 2; x < N; x++) { int max = maxTimes(N, x); if (0 == times[N] || times[N] > max) times[N] = max; } return times[N]; } // 碎和不碎的次数最大值 private static int maxTimes(int N, int x) { int sum = dp(N - x) + 1; if (x < sum) return sum; else return x; }
“两个鸡蛋” 到 “m 个鸡蛋”
现在把问题扩展一下,由两个鸡蛋扩展到 m 个鸡蛋,times 数组第一维表示最多可以扔几次,第二维表示扔第几次:
public static int dropEgg(int N, int m) { // 初始化数组 times = new int[m + 1][N + 1]; return dp(N, m); } private static int dp(int N, int m) { if (1 == m || 1 == N || 2 == N) return N; for (int time = 2; time <= m; time++) for (int x = 2; x < N; x++) { int max = maxTimes(N, x, time); if (0 == times[time][N] || times[time][N] > max) times[time][N] = max; } return times[m][N]; } // 碎和不碎的次数最大值 private static int maxTimes(int N, int x, int m) { int sum = dp(N - x, m) + 1; if (x < sum) return sum; else return x; }
寻找规律
还是回到两个鸡蛋,随着 N 的值改变,可以发现 x 呈现这样的变化:
N=1, x=1
N=2, x=2
N=3, x=2
N=4, x=3
N=5, x=3
N=6, x=3
N=7, x=4
N=8, x=4
N=9, x=4
N=10, x=4
N=11, x=5
N=12, x=5
N=13, x=5
N=14, x=5
N=15, x=5
N=16, x=6
N=17, x=6
N=18, x=6
N=19, x=6
N=20, x=6
N=21, x=6
……
换言之,x=1 的有 1 项,x=2 的有 2 项,x=3 的有 3 项……网上最多的问法是当 N=100 的时候,x 是多少,根据这个规律:
(1+x)*x/2>=100
得知 x 的最小值是 14。
下面来证明一下这个猜想:
因为当扔鸡蛋的最小次数为 x 的时候,第一次从 x 层开始扔,如果碎了,那么接下去就要扔 x-1 次;如果没碎,接下去就变成了扔鸡蛋最小次数为 x-1 的子问题了,此时再扔的楼层数变成了 x+(x-1),在这种情况下碎和不碎两种情况下需要再扔的次数是相等的,已经是最经济的扔法了,继续之,可以得到,扔鸡蛋最小次数的时候,最高可以检测到的楼层数为:
x+(x-1)+(x-2)+……+1
正好是一个等差数列求和的公式。
如果你还没有理解,我们可以换一个有趣的解释。现在把思路从 “给定 N 层楼,问最少需要扔多少次” 变化到 “给定 x 次最多扔鸡蛋的次数,最多可以在几层的楼上确定鸡蛋破碎的临界层”。
第一次我们从 x 层开始扔,如果碎了,那只能老老实实一层一层试验剩下的 1~(x-1) 层,那么这种情况下可以检测 x 层高的楼;假如说没碎,那么剩下 x-1 次可以试验,变成了一个接着要从 (x-1) 层开始扔的子问题了,这个时候可以检测 (x-1) 层高的楼……依此类推,也得到了最终累计可以检测的楼高,正是这个等差数列求和公式:
x+(x-1)+(x-2)+……+1
这也是为什么,我们可以从网上找到的扔鸡蛋问题,好多都是 N 等于 15、21、28、36 这样的数,这正好等于这个等差数列和。
现在把问题稍稍转变一下,把鸡蛋数量的限制去掉,再把求爬楼梯的限制加上,不妨再来求解:
如果鸡蛋数量无限,但是假如说扔一次鸡蛋需要耗费力气 a,每爬一层楼(无论向上还是向下)需要耗费力气 b,现在用怎样的扔鸡蛋策略,可以让耗费的总力气量最小?
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你好,可以看下这个
http://opensource.ss.pku.edu.cn/download/ACM/%E7%AE%97%E6%B3%95/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92/%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%90%88%E9%9B%86%E4%B9%8B%E3%80%8A%E4%BB%8E%E3%80%8A%E9%B9%B0%E8%9B%8B%E3%80%8B%E4%B8%80%E9%A2%98%E6%B5%85%E6%9E%90%E5%AF%B9%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%E7%AE%97%E6%B3%95%E7%9A%84%E4%BC%98%E5%8C%96%E3%80%8B.pdf