几道抛硬币问题

coin toss

只是记录一下遇到的几道抛硬币的概率问题。

 

1、平均需要抛掷多少次硬币,才会首次出现连续的两个正面?

假设连续两个正面的期望是E,那么,先看第一次抛硬币:

  1. 如果抛到反面,那么还期望抛E次,因为抛到反面完全没用,总数就期望抛E+1
  2. 如果抛到正面,那么要看下一次,如果下一次也是正面,那抛硬币就结束了,总数是2;如果下一次是反面,那么相当于重头来过,总数就期望抛E+2

于是可以得到如下关系式:

E = 0.5(E+1) + 0.25*2 + 0.25(E+2)

得到所求期望E=6

现在把题目拓展,不是说“连续两个正面”,而是“连续n个正面”呢?

这个问题Matrix67有非常有趣的解

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笔记:Gamma分布的转化

Gamma_distributionGamma分布

α和β均大于零,且令λ=1/β,假设X的密度满足:

gamma

就说X是服从参数为(β,α)的Gamma分布,记为Γ(β,α)。Gamma分布的两个参数中,第一个β决定了形状(shape),第二个参数α决定了尺度(scale)。

右上图中的k即是α,θ即是β;期望E=β/α,方差D=β/(α*α)。曲线有一个峰,左右不对称。在α比较大时,曲线接近于正态分布。

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梅森素数

mason_prime 古希腊数学家欧几里德就已证明素数有无穷多个,并提出一些素数可写成“2P-1”(其中指数P也是素数)的形式,其中17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森(Martin Mersenne)是其中成果较为卓著的一位,因此数学界将“2P-1”型的素数称为“梅森素数”。

1772年,欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数,这个记录一百多年内都没有人打破。下面是欧拉证明素数有无穷多个的过程,但是梅森素数是否有无穷多个还没有人能证明。

假使素数p1,p2,p3……pn只有那么多个,现在有新数p=p1*p2*p3*……pn + 1,可见p无法被p1

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