笔记:Gamma 分布的转化

Gamma_distributionGamma 分布

α 和β 均大于零,且令λ=1/β,假设 X 的密度满足:

gamma

就说 X 是服从参数为 (β,α) 的 Gamma 分布,记为Γ(β,α)。Gamma 分布的两个参数中,第一个β 决定了形状 (shape),第二个参数α 决定了尺度 (scale)。

右上图中的 k 即是α,θ 即是β;期望 E=β/α,方差 D=β/(α*α)。曲线有一个峰,左右不对称。在α 比较大时,曲线接近于正态分布。

Erlang 分布

当β 为正整数 n 的时候,那么λ=1/n,Γ(n,α) 满足 Erlang 分布。Erlang 分布经常用来表示独立随机事件发生的时间间隔。比如一个车站从第一辆车到达,直到恰好有 n 辆车到达所需要的时间分布。

Erlang 分布有两个参数:k 表示阶数 (stage),μ 表示均值。概率密度符合:

image

概率密度符合 k 阶 Erlang 分布。

指数分布

当β=1 时,Γ(1,α) 表示参数为α 的指数分布 exp(α)。指数分布也经常用来表示独立随机事件发生的间隔,电子产品的寿命分布一般服从指数分布。指数分布不具备记忆性,如果一个人活了六十年,他再活十年的概率和一个十岁的孩子再活十年的概率,通常来说后者要高得多,这种情况就是记忆性的体现,不可能服从指数分布。

它的概率密度函数:

image

卡方分布

当α =n/2 ,β=1/2 时,Γ(n/2,1/2) 即是χ2 分布(卡方分布)。n 个相互独立的随机变量,均服从正态分布,那么这 n 个随机变量的平方和构成的新随机变量,分布规律符合χ2(n) 分布。所以卡方分布曲线下总面积为 1,x 取负值没有意义。

它的概率密度函数:

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